引言
旋转是九年级数学中一个重要的几何概念，它涉及到图形的对称性和变换。在这个部分，我们将详细讲解旋转公式，包括其定义、性质、解题技巧和典型例题解析。
1. 旋转公式的定义
旋转公式描述了一个点在平面内绕固定点旋转一定角度后，新位置与原位置的坐标关系。设原点为O，点P的坐标为(x, y)，点P绕O逆时针旋转θ度后的新坐标为P’，则旋转公式为： [ x’ = x \cos\theta - y \sin\theta ] [ y’ = x \sin\theta + y \cos\theta ]
2. 旋转公式的性质
- 旋转保持线段长度不变。
- 旋转保持角度不变。
- 旋转保持图形形状不变。
- 旋转中心是图形的对称中心。
3. 解题技巧
- 确定旋转中心和旋转角度：在解题时，首先要明确旋转中心和旋转角度，这是应用旋转公式的关键。
- 画出图形：将原图形和旋转后的图形画在坐标轴上，有助于直观地理解和解决问题。
- 应用旋转公式：根据旋转公式，计算新坐标。
- 检查答案：在解题过程中，要时刻检查答案是否符合旋转的性质。
4. 典型例题解析
例题1
已知点P(2, 3)，将其绕原点逆时针旋转90度，求旋转后的坐标。
解题步骤：
- 确定旋转中心和旋转角度：旋转中心为原点O(0, 0)，旋转角度为90度。
- 画出图形：在坐标轴上标出点P(2, 3)和旋转后的点P’。
- 应用旋转公式： [ x’ = 2 \cos 90^\circ - 3 \sin 90^\circ = 0 - 3 = -3 ] [ y’ = 2 \sin 90^\circ + 3 \cos 90^\circ = 2 + 0 = 2 ]
- 得到旋转后的坐标P’(-3, 2)。
例题2
已知正方形ABCD的顶点A(1, 1)，B(1, 4)，C(4, 4)，D(4, 1)。将其绕点C(4, 4)顺时针旋转60度，求旋转后的坐标。
解题步骤：
- 确定旋转中心和旋转角度：旋转中心为点C(4, 4)，旋转角度为60度。
- 画出图形：在坐标轴上标出正方形ABCD和旋转后的正方形A’B’C’D’。
- 应用旋转公式：
- 对点A(1, 1)： [ x’ = 1 \cos 60^\circ - 1 \sin 60^\circ = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} ] [ y’ = 1 \sin 60^\circ + 1 \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} ]
- 对点B(1, 4)： [ x’ = 1 \cos 60^\circ - 4 \sin 60^\circ = \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} ] [ y’ = 1 \sin 60^\circ + 4 \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 ]
- 对点D(4, 1)： [ x’ = 4 \cos 60^\circ - 1 \sin 60^\circ = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ y’ = 4 \sin 60^\circ + 1 \cos 60^\circ = 2\sqrt{3} + \frac{1}{2} ]
- 对点C(4, 4)： [ x’ = 4 \cos 60^\circ - 4 \sin 60^\circ = 2 - 2\sqrt{3} ] [ y’ = 4 \sin 60^\circ + 4 \cos 60^\circ = 2\sqrt{3} + 2 ]
- 得到旋转后的坐标A’(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3} + 1}{2})，B’(\frac{1}{2} - 2\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3} + 2}{2})，D’(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3} + \frac{1}{2})，C’(2 - 2\sqrt{3}, 2\sqrt{3} + 2)。
总结
旋转公式是九年级数学中一个重要的几何概念，掌握旋转公式和解题技巧对于解决实际问题具有重要意义。通过本文的讲解，相信你已经对旋转公式有了更深入的了解。在实际解题过程中，要多加练习，逐步提高解题能力。