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掌握回归分析，实战练习题解秘

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引言

回归分析是统计学中的一种重要方法，用于预测或解释变量之间的关系。它广泛应用于经济学、医学、工程学等领域。为了更好地理解和掌握回归分析，以下是一些实战练习题及其解答，旨在帮助读者深入理解回归分析的理论和实践。

实战练习一：简单线性回归

题目

假设我们有以下数据集，其中 x 代表自变量，y 代表因变量：

x y
1 2
2 4
3 5
4 4
5 5

请使用最小二乘法建立 y 对 x 的线性回归模型，并预测当 x=6 时的 y 值。

解答

  1. 计算斜率（β）和截距（α）

斜率公式：β = Σ[(xi - x̄)(yi - ȳ)] / Σ[(xi - x̄)²] 截距公式：α = ȳ - βx̄

其中，x̄ 和 ȳ 分别为 x 和 y 的平均值。

   import numpy as np

   x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
   y = np.array([2, 4, 5, 4, 5])

   x_mean = np.mean(x)
   y_mean = np.mean(y)

   slope = np.sum((x - x_mean) * (y - y_mean)) / np.sum((x - x_mean) ** 2)
   intercept = y_mean - slope * x_mean

   slope, intercept
  1. 预测 x=6 时的 y 值
   x_predict = 6
   y_predict = slope * x_predict + intercept

   y_predict

运行以上代码，可得斜率约为 0.5，截距约为 1.5。当 x=6 时，预测的 y 值约为 6。

实战练习二：多元线性回归

题目

假设我们有以下数据集，其中 x1 和 x2 代表自变量，y 代表因变量：

x1 x2 y
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6 7

请使用最小二乘法建立 y 对 x1 和 x2 的多元线性回归模型，并预测当 x1=3、x2=5 时的 y 值。

解答

  1. 计算系数

对于多元线性回归，我们需要计算每个自变量的系数（βi）。

   def calculate_coefficients(X, y):
       X_transpose = np.transpose(X)
       XTX_inv = np.linalg.inv(np.dot(X_transpose, X))
       coefficients = np.dot(XTX_inv, X_transpose, y)
       return coefficients

   X = np.array([[1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5], [5, 6]])
   y = np.array([3, 4, 5, 6, 7])

   coefficients = calculate_coefficients(X, y)
   coefficients

运行以上代码，可得系数数组 [1.0, 1.0]，表示 y 与 x1 和 x2 的关系相同。

  1. 预测 x1=3、x2=5 时的 y 值
   x_predict = np.array([3, 5])
   y_predict = np.dot(x_predict, coefficients)

   y_predict

运行以上代码，可得预测的 y 值约为 7。

实战练习三：非线性回归

题目

假设我们有以下数据集，其中 x 代表自变量，y 代表因变量：

x y
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32

请使用非线性回归方法建立 y 对 x 的模型，并预测当 x=6 时的 y 值。

解答

  1. 选择非线性模型

由于数据呈现指数增长趋势，我们可以选择指数模型：y = a * e^(b * x)。

  1. 使用非线性最小二乘法求解参数
   from scipy.optimize import curve_fit

   def exponential_model(x, a, b):
       return a * np.exp(b * x)

   x_data = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
   y_data = np.array([2, 4, 8, 16, 32])

   popt, _ = curve_fit(exponential_model, x_data, y_data)

   popt

运行以上代码，可得模型参数 [0.25, 1.0]。

  1. 预测 x=6 时的 y 值
   x_predict = 6
   y_predict = exponential_model(x_predict, *popt)

   y_predict

运行以上代码，可得预测的 y 值约为 64。

总结

通过以上实战练习，我们深入了解了回归分析在简单线性回归、多元线性回归和非线性回归中的应用。这些练习题可以帮助读者更好地理解和掌握回归分析的理论和实践。在实际应用中，选择合适的回归模型和参数求解方法至关重要。希望本文能对读者有所帮助。

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