引言
大学高数是数学专业以及许多理工科专业的基础课程，掌握高数对于后续的学习和研究至关重要。以下列出50道经典的高数基础练习题，旨在帮助读者巩固和提升高数知识。
一元函数微积分
1. 求导数
函数 ( f(x) = x^3 - 3x + 2 )，求 ( f’(x) )。
2. 求极限
求 ( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} )。
3. 求不定积分
求 ( \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx )。
4. 求定积分
求 ( \int_0^1 (2x + 3) \, dx )。
一元函数微分方程
5. 求微分方程的通解
微分方程 ( y’ - 2y = x ) 的通解。
6. 求微分方程的特解
微分方程 ( y” - 4y’ + 4y = e^{2x} ) 的特解。
多元函数微积分
7. 求偏导数
函数 ( f(x, y) = x^2y + y^3 )，求 ( \frac{\partial f}{\partial x} ) 和 ( \frac{\partial f}{\partial y} )。
8. 求二阶偏导数
函数 ( f(x, y) = x^2y + y^3 )，求 ( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} ) 和 ( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} )。
9. 求多元函数的全微分
函数 ( f(x, y) = x^2y + y^3 )，求 ( df )。
线性代数
10. 求矩阵的行列式
矩阵 ( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} )，求 ( \det(A) )。
11. 求矩阵的逆
矩阵 ( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} )，求 ( A^{-1} )。
12. 解线性方程组
解线性方程组 ( \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} )。
常微分方程
13. 求一阶微分方程的通解
微分方程 ( y’ = 2xy ) 的通解。
14. 求二阶微分方程的通解
微分方程 ( y” - 2y’ + y = 0 ) 的通解。
傅里叶级数
15. 求傅里叶级数
函数 ( f(x) = x ) 在区间 ([-L, L]) 上的傅里叶级数展开。
复变函数
16. 求复变函数的导数
复变函数 ( f(z) = z^2 )，求 ( f’(z) )。
17. 求复变函数的积分
求 ( \int_{C} \frac{1}{z} \, dz )，其中 ( C ) 是单位圆。
实变函数
18. 求函数的极限
函数 ( f(x) = \frac{\sin x}{x} )，求 ( \lim_{x \to 0} f(x) )。
19. 求函数的导数
函数 ( f(x) = e^x )，求 ( f’(x) )。
概率论与数理统计
20. 求随机变量的期望
随机变量 ( X ) 服从均匀分布 ( U(0,1) )，求 ( E(X) )。
21. 求随机变量的方差
随机变量 ( X ) 服从正态分布 ( N(2,4) )，求 ( Var(X) )。
其他
22. 求级数的和
求级数 ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} ) 的和。
23. 求曲线的长度
求曲线 ( y = x^2 ) 在区间 ([0,1]) 上的长度。
24. 求曲面的面积
求曲面 ( z = x^2 + y^2 ) 在 ( z \geq 0 ) 部分的面积。
25. 求空间曲线的切线
求空间曲线 ( r(t) = \begin{bmatrix} t \ t^2 \ t^3 \end{bmatrix} ) 在 ( t = 1 ) 处的切线。
26. 求空间曲面的法线
求空间曲面 ( z = x^2 + y^2 ) 在点 ( (1,1,1) ) 处的法线。
27. 求线性规划的最优解
求解线性规划问题： [ \begin{align} \text{maximize} & \quad z = x + y \ \text{subject to} & \quad x + y \leq 4 \ & \quad x \geq 0, y \geq 0 \end{align} ]
28. 求非线性规划的最优解
求解非线性规划问题： [ \begin{align} \text{minimize} & \quad f(x, y) = x^2 + y^2 \ \text{subject to} & \quad x^2 + y^2 \leq 1 \ & \quad x \geq 0, y \geq 0 \end{align} ]
29. 求隐函数的导数
隐函数 ( F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 )，求 ( \frac{dy}{dx} )。
30. 求全微分方程的解
全微分方程 ( \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} ) 的通解。
31. 求曲线积分
求曲线积分 ( \int_C y \, dx + x \, dy )，其中 ( C ) 是从点 ( (0,0) ) 到点 ( (1,1) ) 的直线段。
32. 求曲面积分
求曲面积分 ( \iint_S z \, dS )，其中 ( S ) 是平面 ( z = x^2 + y^2 ) 在 ( z \geq 0 ) 部分的曲面。
33. 求格林公式
验证格林公式在区域 ( D: x^2 + y^2 \leq 1 ) 上的正确性。
34. 求高斯公式
验证高斯公式在区域 ( D: x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 ) 上的正确性。
35. 求斯托克斯公式
验证斯托克斯公式在曲线 ( C: x^2 + y^2 = 1, z = 0 ) 上的正确性。
36. 求向量场的通量
求向量场 ( \mathbf{F} = (x, y, z) ) 在球面 ( x^2 + y^2 + z^2 = 1 ) 上的通量。
37. 求向量场的旋度
求向量场 ( \mathbf{F} = (x, y, z) ) 的旋度。
38. 求向量场的散度
求向量场 ( \mathbf{F} = (x, y, z) ) 的散度。
39. 求矩阵的特征值和特征向量
矩阵 ( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ -3 & -5 \end{bmatrix} )，求 ( A ) 的特征值和特征向量。
40. 求线性方程组的解
解线性方程组 ( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix} )。
41. 求矩阵的秩
矩阵 ( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} )，求 ( r(A) )。
42. 求矩阵的逆
矩阵 ( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} )，求 ( A^{-1} )。
43. 求线性变换
求线性变换 ( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 )， ( T(x, y) = (x + y, x - y) ) 的矩阵表示。
44. 求线性空间的维数
求线性空间 ( \text{span}{(1, 1), (1, -1)} ) 的维数。
45. 求线性空间的基
求线性空间 ( \text{span}{(1, 0), (0, 1)} ) 的基。
46. 求线性空间的子空间
求线性空间 ( \mathbb{R}^3 ) 的子空间 ( \text{span}{(1, 1, 1), (1, 0, 0)} )。
47. 求线性空间的维数
求线性空间 ( \text{span}{(1, 1, 1), (1, 0, 0)} ) 的维数。
48. 求线性空间的基
求线性空间 ( \text{span}{(1, 1, 1), (1, 0, 0)} ) 的基。
49. 求线性空间的子空间
求线性空间 ( \mathbb{R}^3 ) 的子空间 ( \text{span}{(1, 1, 1), (1, 0, 0)} )。
50. 求线性空间的维数
求线性空间 ( \text{span}{(1, 1, 1), (1, 0, 0)} ) 的维数。