第一部分：基础知识巩固
一、函数、极限与连续
1. 函数的定义域与值域
题目：已知函数 ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} )，求其定义域与值域。
解答：
- 定义域：由于分母不能为零，因此 ( x \neq 1 )，所以定义域为 ( {x | x \neq 1} )。
- 值域：化简函数得 ( f(x) = x + 1 )，由于 ( x ) 可以取任意实数，所以值域为 ( \mathbb{R} )。
2. 极限的计算
题目：计算 ( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} )。
解答：
- 根据洛必达法则，有 ( \lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1 )。
3. 连续性的判断
题目：判断函数 ( f(x) = x^2 ) 在 ( x = 0 ) 处是否连续。
解答：
- 函数 ( f(x) = x^2 ) 在 ( x = 0 ) 处连续，因为 ( \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0 )。
二、导数与微分
1. 导数的计算
题目：求函数 ( f(x) = e^x ) 的导数。
解答：
- ( f’(x) = e^x )。
2. 微分的计算
题目：求函数 ( f(x) = \ln x ) 在 ( x = 1 ) 处的微分。
解答：
- ( f’(x) = \frac{1}{x} )，所以 ( df(x) = \frac{1}{x} dx )。在 ( x = 1 ) 处，( df(1) = \frac{1}{1} dx = dx )。
三、不定积分与定积分
1. 不定积分的计算
题目：求函数 ( f(x) = x^3 ) 的不定积分。
解答：
- ( \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C )。
2. 定积分的计算
题目：计算定积分 ( \int_0^1 x^2 dx )。
解答：
- ( \int_0^1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} )。
第二部分：综合应用题
一、求曲线的切线与法线
题目：已知曲线 ( y = x^2 )，求在点 ( (1, 1) ) 处的切线与法线方程。
解答：
- 切线斜率 ( k = f’(1) = 2 )，所以切线方程为 ( y - 1 = 2(x - 1) )，即 ( y = 2x - 1 )。
- 法线斜率 ( k’ = -\frac{1}{2} )，所以法线方程为 ( y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) )，即 ( y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} )。
二、求函数的极值
题目：求函数 ( f(x) = x^3 - 3x ) 的极值。
解答：
- 求导得 ( f’(x) = 3x^2 - 3 )，令 ( f’(x) = 0 ) 得 ( x = \pm 1 )。
- 当 ( x = -1 ) 时，( f”(x) = 6 > 0 )，所以 ( x = -1 ) 为极小值点，极小值为 ( f(-1) = -2 )。
- 当 ( x = 1 ) 时，( f”(x) = 6 > 0 )，所以 ( x = 1 ) 为极大值点，极大值为 ( f(1) = -2 )。
三、求解微分方程
题目：求解微分方程 ( y’ - 2y = e^x )。
解答：
- 求解齐次方程 ( y’ - 2y = 0 )，得通解 ( y = Ce^{2x} )。
- 求特解，设 ( y = Ae^x )，代入原方程得 ( A = \frac{1}{2} )。
- 所以微分方程的通解为 ( y = Ce^{2x} + \frac{1}{2}e^x )。