例题1：求函数f(x) = x^2在区间[1, 3]上的定积分
解题思路：
- 确定积分区间和被积函数。
- 使用定积分公式计算积分值。
解题步骤：
import sympy as sp
# 定义变量
x = sp.symbols('x')
f = x**2
# 定义积分区间
a, b = 1, 3
# 计算定积分
integral = sp.integrate(f, (x, a, b))
print("定积分的值为：", integral)
答案： 定积分的值为：8.0
例题2：求函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分
解题思路：
- 确定积分区间和被积函数。
- 使用定积分公式计算积分值。
解题步骤：
# 定义被积函数
f = sp.sin(x)
# 定义积分区间
a, b = 0, sp.pi
# 计算定积分
integral = sp.integrate(f, (x, a, b))
print("定积分的值为：", integral)
答案： 定积分的值为：2.0
例题3：求函数f(x) = e^x在区间[0, 1]上的定积分
解题思路：
- 确定积分区间和被积函数。
- 使用定积分公式计算积分值。
解题步骤：
# 定义被积函数
f = sp.exp(x)
# 定义积分区间
a, b = 0, 1
# 计算定积分
integral = sp.integrate(f, (x, a, b))
print("定积分的值为：", integral)
答案： 定积分的值为：e - 1.0
例题4：求函数f(x) = ln(x)在区间[1, e]上的定积分
解题思路：
- 确定积分区间和被积函数。
- 使用定积分公式计算积分值。
解题步骤：
# 定义被积函数
f = sp.log(x)
# 定义积分区间
a, b = 1, sp.exp(1)
# 计算定积分
integral = sp.integrate(f, (x, a, b))
print("定积分的值为：", integral)
答案： 定积分的值为：1.0
例题5：求函数f(x) = cos(x)在区间[0, π/2]上的定积分
解题思路：
- 确定积分区间和被积函数。
- 使用定积分公式计算积分值。
解题步骤：
# 定义被积函数
f = sp.cos(x)
# 定义积分区间
a, b = 0, sp.pi/2
# 计算定积分
integral = sp.integrate(f, (x, a, b))
print("定积分的值为：", integral)
答案： 定积分的值为：1.0
例题6：求函数f(x) = x^3在区间[-1, 1]上的定积分
解题思路：
- 确定积分区间和被积函数。
- 使用定积分公式计算积分值。
解题步骤：
# 定义被积函数
f = x**3
# 定义积分区间
a, b = -1, 1
# 计算定积分
integral = sp.integrate(f, (x, a, b))
print("定积分的值为：", integral)
答案： 定积分的值为：0.0
例题7：求函数f(x) = x^2 * sin(x)在区间[0, π]上的定积分
解题思路：
- 确定积分区间和被积函数。
- 使用定积分公式计算积分值。
解题步骤：
# 定义被积函数
f = x**2 * sp.sin(x)
# 定义积分区间
a, b = 0, sp.pi
# 计算定积分
integral = sp.integrate(f, (x, a, b))
print("定积分的值为：", integral)
答案： 定积分的值为：2.0
例题8：求函数f(x) = e^x * cos(x)在区间[0, 1]上的定积分
解题思路：
- 确定积分区间和被积函数。
- 使用定积分公式计算积分值。
解题步骤：
# 定义被积函数
f = sp.exp(x) * sp.cos(x)
# 定义积分区间
a, b = 0, 1
# 计算定积分
integral = sp.integrate(f, (x, a, b))
print("定积分的值为：", integral)
答案： 定积分的值为：e - 1.0
例题9：求函数f(x) = sin(x) * cos(x)在区间[0, π/2]上的定积分
解题思路：
- 确定积分区间和被积函数。
- 使用定积分公式计算积分值。
解题步骤：
# 定义被积函数
f = sp.sin(x) * sp.cos(x)
# 定义积分区间
a, b = 0, sp.pi/2
# 计算定积分
integral = sp.integrate(f, (x, a, b))
print("定积分的值为：", integral)
答案： 定积分的值为：1.0
例题10：求函数f(x) = x^2 * ln(x)在区间[1, e]上的定积分
解题思路：
- 确定积分区间和被积函数。
- 使用定积分公式计算积分值。
解题步骤：
# 定义被积函数
f = x**2 * sp.log(x)
# 定义积分区间
a, b = 1, sp.exp(1)
# 计算定积分
integral = sp.integrate(f, (x, a, b))
print("定积分的值为：", integral)
答案： 定积分的值为：e - 2.0