绝对值概念回顾
在数学中，绝对值表示一个数与零之间的距离，不考虑方向。对于任意实数 ( x )，其绝对值记作 ( |x| )，定义如下：
- 如果 ( x \geq 0 )，则 ( |x| = x )。
- 如果 ( x < 0 )，则 ( |x| = -x )。
绝对值的概念在解决许多数学问题中都非常重要，尤其是在解决方程和不等式时。
练习题一
题目：解方程 ( |2x - 5| = 3 )。
解题步骤：
根据绝对值的定义，将方程分解为两个可能的情况：
- ( 2x - 5 = 3 )
- ( 2x - 5 = -3 )
分别解这两个方程。
解题过程：
对于 ( 2x - 5 = 3 )： [ 2x - 5 = 3 \ 2x = 3 + 5 \ 2x = 8 \ x = \frac{8}{2} \ x = 4 ]
对于 ( 2x - 5 = -3 )： [ 2x - 5 = -3 \ 2x = -3 + 5 \ 2x = 2 \ x = \frac{2}{2} \ x = 1 ]
答案：方程 ( |2x - 5| = 3 ) 的解为 ( x = 4 ) 和 ( x = 1 )。
练习题二
题目：解不等式 ( |3x + 2| < 7 )。
解题步骤：
同样根据绝对值的定义，将不等式分解为两个可能的情况：
- ( 3x + 2 < 7 )
- ( 3x + 2 > -7 )
分别解这两个不等式。
解题过程：
对于 ( 3x + 2 < 7 )： [ 3x + 2 < 7 \ 3x < 7 - 2 \ 3x < 5 \ x < \frac{5}{3} ]
对于 ( 3x + 2 > -7 )： [ 3x + 2 > -7 \ 3x > -7 - 2 \ 3x > -9 \ x > -3 ]
答案：不等式 ( |3x + 2| < 7 ) 的解集为 ( -3 < x < \frac{5}{3} )。
练习题三
题目：已知 ( |x - 3| + |x + 1| = 5 )，求 ( x ) 的值。
解题步骤：
根据绝对值的性质，将 ( x ) 的取值范围分为三个区间进行讨论：
- ( x < -1 )
- ( -1 \leq x \leq 3 )
- ( x > 3 )
分别在每个区间内解方程。
解题过程：
当 ( x < -1 ) 时： [ -(x - 3) - (x + 1) = 5 \ -x + 3 - x - 1 = 5 \ -2x + 2 = 5 \ -2x = 3 \ x = -\frac{3}{2} ]
当 ( -1 \leq x \leq 3 ) 时： [ (x - 3) - (x + 1) = 5 \ x - 3 - x - 1 = 5 \ -4 \neq 5 ] 这个区间内没有解。
当 ( x > 3 ) 时： [ (x - 3) + (x + 1) = 5 \ x - 3 + x + 1 = 5 \ 2x - 2 = 5 \ 2x = 7 \ x = \frac{7}{2} ]
答案：方程 ( |x - 3| + |x + 1| = 5 ) 的解为 ( x = -\frac{3}{2} ) 和 ( x = \frac{7}{2} )。