引言
集合论和函数是数学中的基础概念，它们在各个领域都有广泛的应用。对于初学者来说，理解和掌握这两个概念可能充满挑战。本文旨在通过一系列实战练习题，帮助读者深入理解集合与函数的概念，并掌握解题技巧。
集合基础
1. 集合的定义与表示
主题句：集合是由确定的、互不相同的元素组成的整体。
支持细节：
- 定义：集合是由某些指定的对象（称为元素）构成的整体。
- 表示：集合可以用大括号
{}表示，例如，集合 A = {1, 2, 3}。
2. 集合运算
主题句：集合运算包括并集、交集、差集等。
支持细节：
- 并集：两个集合的并集包含它们的所有元素，记为 A ∪ B。
- 交集：两个集合的交集包含同时属于它们的元素，记为 A ∩ B。
- 差集：一个集合减去另一个集合，得到属于第一个集合但不属于第二个集合的元素，记为 A - B。
实战练习题
题目：给定集合 A = {1, 2, 3, 4} 和 B = {3, 4, 5, 6}，求 A ∪ B、A ∩ B 和 A - B。
答案：
- A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- A ∩ B = {3, 4}
- A - B = {1, 2}
函数基础
1. 函数的定义
主题句：函数是一种特殊的关系，它将每个输入值映射到唯一的输出值。
支持细节：
- 定义：如果对于集合 A 中的每个元素 x，都存在集合 B 中的唯一元素 y，使得 y = f(x)，那么从 A 到 B 的关系 f 就是一个函数。
- 表示：通常用 f(x) 表示 y。
2. 函数的性质
主题句：函数具有单一性、确定性等性质。
支持细节：
- 单一性：对于每个 x，f(x) 是唯一的。
- 确定性：对于每个 x，f(x) 总是确定的。
实战练习题
题目：判断以下关系是否为函数：
- R1: x^2 = y
- R2: y = x + 1
答案：
- R1 不是函数，因为对于 x = 1 和 x = -1，都有 y = 1。
- R2 是函数，因为对于每个 x，y 都是唯一的。
高级集合与函数概念
1. 集合的幂集
主题句：一个集合的幂集是包含该集合所有子集的集合。
支持细节：
- 定义：集合 A 的幂集记为 P(A)，包含 A 的所有子集。
- 例子：如果 A = {1, 2}，那么 P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}。
2. 函数的复合
主题句：函数的复合是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
支持细节：
- 定义：如果 f 和 g 是两个函数，那么 f 复合 g，记为 f o g，定义为 (f o g)(x) = f(g(x))。
- 例子：如果 f(x) = x^2 和 g(x) = x + 1，那么 f o g(x) = (x + 1)^2。
实战练习题
题目：给定函数 f(x) = x^2 和 g(x) = x + 1，求 f o g(x)。
答案：
- f o g(x) = (x + 1)^2
总结
集合与函数是数学中的核心概念，通过实战练习题的解答，我们可以更好地理解这些概念，并掌握解题技巧。不断练习和探索，将有助于深化对这些基础知识的理解。