引言
在数学中，根与系数关系是代数方程中的一个重要概念，它揭示了方程的根与系数之间的内在联系。掌握这一关系，对于解决一元二次方程问题具有重要意义。本文将通过精选练习题的详解，帮助读者深入理解根与系数的关系，并掌握相应的解题技巧。
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的一般形式为 ( ax^2 + bx + c = 0 )（其中 ( a \neq 0 )）。根据韦达定理，设该方程的两个根为 ( x_1 ) 和 ( x_2 )，则有：
- 根的和：( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} )
- 根的积：( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} )
这些关系为解决一元二次方程问题提供了便利。
精选练习题详解
练习题一：求一元二次方程 ( 2x^2 - 4x - 6 = 0 ) 的根
解题步骤
- 根据韦达定理，计算根的和：( x_1 + x_2 = -\frac{-4}{2} = 2 )
- 计算根的积：( x_1 \cdot x_2 = \frac{-6}{2} = -3 )
- 由于方程的系数为整数，可以通过因式分解或使用求根公式求解方程。
解题过程
因式分解：
( 2x^2 - 4x - 6 = 2(x^2 - 2x - 3) = 2(x - 3)(x + 1) = 0 )
解得：( x_1 = 3 )，( x_2 = -1 )
练习题二：已知一元二次方程的两个根分别为 ( x_1 = 1 ) 和 ( x_2 = -2 )，求该方程的系数 ( a )、( b ) 和 ( c )
解题步骤
- 根据韦达定理，得到方程的根的和与积：
- ( x_1 + x_2 = 1 + (-2) = -1 )
- ( x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-2) = -2 )
- 将根的和与积代入一元二次方程的一般形式，得到：
- ( x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0 )
- ( x^2 + x - 2 = 0 )
- 通过比较系数，得到 ( a = 1 )，( b = 1 )，( c = -2 )。
练习题三：已知一元二次方程的两个根的平方和为 ( 10 )，积为 ( -3 )，求该方程
解题步骤
- 根据韦达定理，设方程的两个根为 ( x_1 ) 和 ( x_2 )，则：
- ( x_1^2 + x_2^2 = 10 )
- ( x_1 \cdot x_2 = -3 )
- 利用完全平方公式，将 ( x_1^2 + x_2^2 ) 转化为 ( (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2 )：
- ( (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2 = 10 )
- ( (x_1 + x_2)^2 = 10 + 2 \cdot 3 = 16 )
- 解得 ( x_1 + x_2 = \pm 4 )。
- 将 ( x_1 + x_2 ) 和 ( x_1 \cdot x_2 ) 代入一元二次方程的一般形式，得到：
- ( x^2 - 4x - 3 = 0 ) 或 ( x^2 + 4x - 3 = 0 )
总结
通过以上精选练习题的详解，读者可以更好地理解一元二次方程的根与系数关系，并掌握相应的解题技巧。在实际应用中，灵活运用这些技巧，可以快速解决各种一元二次方程问题。