引言
负指数幂是数学中的一个重要概念，它涉及到指数法则和负数的运算。理解并掌握负指数幂的计算技巧对于数学学习和相关领域的应用至关重要。本篇文章将提供15道实战练习题，旨在帮助读者深入理解负指数幂的计算方法，并通过详细的解答步骤，使读者能够熟练掌握这一技巧。
实战练习题
练习题1
计算：(2^{-3} \times 3^{-2})
解答
首先，我们知道负指数表示倒数。因此，(2^{-3}) 可以写作 (\frac{1}{2^3})，同理 (3^{-2}) 可以写作 (\frac{1}{3^2})。接下来，我们计算：
[ 2^{-3} \times 3^{-2} = \frac{1}{2^3} \times \frac{1}{3^2} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{72} ]
练习题2
计算：((5^{-1})^2)
解答
负指数幂的幂次运算可以通过将指数相乘来简化。因此：
[ (5^{-1})^2 = 5^{-1 \times 2} = 5^{-2} ]
然后，我们知道 (5^{-2}) 等于 (\frac{1}{5^2})，所以：
[ 5^{-2} = \frac{1}{25} ]
练习题3
计算：(\frac{7^{-3}}{7^2})
解答
当除以相同底数的指数时，我们可以通过减去指数来简化。因此：
[ \frac{7^{-3}}{7^2} = 7^{-3 - 2} = 7^{-5} ]
然后，(7^{-5}) 等于 (\frac{1}{7^5})，所以：
[ 7^{-5} = \frac{1}{7^5} ]
练习题4
计算：((\frac{1}{4})^{-3})
解答
负指数幂的倒数可以通过将指数变为正数来计算。因此：
[ (\frac{1}{4})^{-3} = 4^3 ]
然后，(4^3) 等于 (4 \times 4 \times 4)，所以：
[ 4^3 = 64 ]
练习题5
计算：(\frac{2^{-4}}{2^3})
解答
使用同样的指数减法规则：
[ \frac{2^{-4}}{2^3} = 2^{-4 - 3} = 2^{-7} ]
然后，(2^{-7}) 等于 (\frac{1}{2^7})，所以：
[ 2^{-7} = \frac{1}{128} ]
练习题6
计算：((3^{-2})^4)
解答
再次使用指数乘法规则：
[ (3^{-2})^4 = 3^{-2 \times 4} = 3^{-8} ]
然后，(3^{-8}) 等于 (\frac{1}{3^8})，所以：
[ 3^{-8} = \frac{1}{6561} ]
练习题7
计算：(\frac{1}{(2^{-1})^3})
解答
首先，计算括号内的值：
[ (2^{-1})^3 = 2^{-1 \times 3} = 2^{-3} ]
然后，我们取其倒数：
[ \frac{1}{2^{-3}} = 2^3 = 8 ]
练习题8
计算：((\frac{1}{5})^{-4} \times 5^2)
解答
首先，计算第一个负指数幂：
[ (\frac{1}{5})^{-4} = 5^4 ]
然后，我们将结果与 (5^2) 相乘：
[ 5^4 \times 5^2 = 5^{4 + 2} = 5^6 ]
练习题9
计算：(\frac{1}{2^{-2}} \div 2^3)
解答
首先，取第一个负指数幂的倒数：
[ \frac{1}{2^{-2}} = 2^2 ]
然后，我们进行除法运算：
[ 2^2 \div 2^3 = 2^{2 - 3} = 2^{-1} = \frac{1}{2} ]
练习题10
计算：((\frac{1}{3})^{-3} \times 3^{-2})
解答
首先，计算第一个负指数幂：
[ (\frac{1}{3})^{-3} = 3^3 ]
然后，我们将结果与 (3^{-2}) 相乘：
[ 3^3 \times 3^{-2} = 3^{3 - 2} = 3^1 = 3 ]
练习题11
计算：(\frac{2^{-4}}{2^{-2}})
解答
使用指数减法规则：
[ \frac{2^{-4}}{2^{-2}} = 2^{-4 - (-2)} = 2^{-4 + 2} = 2^{-2} ]
然后，(2^{-2}) 等于 (\frac{1}{2^2})，所以：
[ 2^{-2} = \frac{1}{4} ]
练习题12
计算：((\frac{1}{4})^{-2} \div (\frac{1}{4})^3)
解答
首先，计算两个负指数幂：
[ (\frac{1}{4})^{-2} = 4^2 = 16 ] [ (\frac{1}{4})^3 = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64} ]
然后，我们进行除法运算：
[ 16 \div \frac{1}{64} = 16 \times 64 = 1024 ]
练习题13
计算：(\frac{1}{(5^{-1})^2} \times 5^4)
解答
首先，计算括号内的值：
[ (5^{-1})^2 = 5^{-1 \times 2} = 5^{-2} ]
然后，我们取其倒数：
[ \frac{1}{5^{-2}} = 5^2 ]
接着，我们将结果与 (5^4) 相乘：
[ 5^2 \times 5^4 = 5^{2 + 4} = 5^6 ]
练习题14
计算：((\frac{1}{2})^{-3} \div (\frac{1}{2})^4)
解答
首先，计算两个负指数幂：
[ (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8 ] [ (\frac{1}{2})^4 = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} ]
然后，我们进行除法运算：
[ 8 \div \frac{1}{16} = 8 \times 16 = 128 ]
练习题15
计算：(\frac{1}{(3^{-2})^3} \times 3^5)
解答
首先，计算括号内的值：
[ (3^{-2})^3 = 3^{-2 \times 3} = 3^{-6} ]
然后，我们取其倒数：
[ \frac{1}{3^{-6}} = 3^6 ]
接着，我们将结果与 (3^5) 相乘：
[ 3^6 \times 3^5 = 3^{6 + 5} = 3^{11} ]
总结
通过以上15道实战练习题，读者应该能够更好地理解负指数幂的计算技巧。负指数幂的计算主要依赖于指数法则和负数的倒数。通过不断的练习和复习，读者可以熟练掌握这一数学概念，并在实际应用中游刃有余。