揭秘线性代数难题：实战练习题答案解析，轻松掌握核心技巧

线性代数是数学中的重要分支，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。然而，线性代数中的许多概念和理论对于初学者来说可能较为抽象和难以理解。本文将通过一系列实战练习题的答案解析，帮助读者深入理解线性代数的基本原理，并掌握解决线性代数问题的核心技巧。

一、线性方程组

1.1 题目示例

求解以下线性方程组： [ \begin{cases} x + 2y - z = 1 \ 2x - y + 3z = 2 \ -x + y + 2z = 3 \end{cases} ]

1.2 解题步骤

1. 构建增广矩阵： [ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \ 2 & -1 & 3 & 2 \ -1 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right] ]

2. 行变换： [ \xrightarrow[r_3+r_1]{r_2-2r_1} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \ 0 & -5 & 5 & 0 \ 0 & 3 & 1 & 4 \end{array} \right] ] [ \xrightarrow[r_2 \times (-¹⁄₅)]{} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \ 0 & 1 & -1 & 0 \ 0 & 3 & 1 & 4 \end{array} \right] ] [ \xrightarrow[r_3-3r_2]{r_1-2r_2} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 1 \ 0 & 1 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 4 & 4 \end{array} \right] ] [ \xrightarrow[r_3 \times (¹⁄₄)]{} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 1 \ 0 & 1 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right] ] [ \xrightarrow[r_1-3r_3]{r_2+r_3} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -2 \ 0 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right] ]

3. 得到解： [ \begin{cases} x = -2 \ y = 1 \ z = 1 \end{cases} ]

二、矩阵的特征值与特征向量

2.1 题目示例

求矩阵 ( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} ) 的特征值和特征向量。

2.2 解题步骤

1. 计算特征多项式： [ \det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 ]

2. 求解特征值： [ \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 2, \lambda_2 = -1 ]

3. 求解特征向量： 对于 ( \lambda_1 = 2 )： [ (A - 2I)\vec{x} = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -1 & 2 \ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow x_1 = -2x_2 ] 所以，特征向量为 ( \vec{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} -2 \ 1 \end{bmatrix} )。

对于 ( \lambda_2 = -1 )： [ (A + I)\vec{x} = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 2 \ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow x_1 = -\frac{2}{3}x_2 ] 所以，特征向量为 ( \vec{\alpha}_2 = \begin{bmatrix} -²⁄₃ \ 1 \end{bmatrix} )。

三、行列式

3.1 题目示例

计算行列式 ( \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right| )。

3.2 解题步骤

1. 按第一行展开： [ \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right| = 1 \cdot \left| \begin{matrix} 5 & 6 \ 8 & 9 \end{matrix} \right| - 2 \cdot \left| \begin{matrix} 4 & 6 \ 7 & 9 \end{matrix} \right| + 3 \cdot \left| \begin{matrix} 4 & 5 \ 7 & 8 \end{matrix} \right| ]

2. 计算二阶行列式： [ \left| \begin{matrix} 5 & 6 \ 8 & 9 \end{matrix} \right| = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 3 ] [ \left| \begin{matrix} 4 & 6 \ 7 & 9 \end{matrix} \right| = 4 \cdot 9 - 6 \cdot 7 = 6 ] [ \left| \begin{matrix} 4 & 5 \ 7 & 8 \end{matrix} \right| = 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = 3 ]

3. 计算行列式值： [ \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right| = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 6 + 3 \cdot 3 = 3 - 12 + 9 = 0 ]

通过以上实战练习题的答案解析，读者可以更加深入地理解线性代数的基本原理和核心技巧。希望本文能对学习线性代数的读者有所帮助。