引言
量子力学是现代物理学的基石，它揭示了微观世界中物质和能量的本质规律。然而，量子力学也以其深奥和难以理解而著称。本文将针对一些经典的量子力学练习题进行详细解析，帮助读者轻松掌握物理奥秘。
练习题一：波函数与概率幅
问题
一个电子在无限深势阱中，势阱宽度为 ( a )。求电子在 ( x = \frac{a}{2} ) 处的概率幅。
解答
波函数：无限深势阱中，电子的波函数 ( \psi_n(x) ) 为： [ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) ] 其中，( n ) 为正整数，表示能级。
概率幅：电子在 ( x = \frac{a}{2} ) 处的概率幅 ( \psi_n\left(\frac{a}{2}\right) ) 为： [ \psi_n\left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) ]
特殊情况：当 ( n = 1 ) 时，概率幅为 ( \frac{1}{\sqrt{2}} )，表示电子在 ( x = \frac{a}{2} ) 处的概率幅最大。
练习题二：薛定谔方程与能量本征值
问题
一个粒子在 ( x ) 方向的无限深势阱中，势阱宽度为 ( a )。求粒子的能量本征值和波函数。
解答
薛定谔方程：粒子的薛定谔方程为： [ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x) ] 其中，( V(x) ) 为势能函数，( E ) 为能量。
无限深势阱：在 ( 0 \leq x \leq a ) 的区间内，势能 ( V(x) = 0 )，波函数满足边界条件 ( \psi(0) = \psi(a) = 0 )。
解薛定谔方程：将薛定谔方程代入波函数形式 ( \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) )，得到能量本征值： [ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2} ] 其中，( n ) 为正整数。
练习题三：量子态的叠加与测量
问题
一个电子处于 ( \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \psi_1(x) + \psi_2(x) \right) ) 的量子态，其中 ( \psi_1(x) ) 和 ( \psi_2(x) ) 分别为 ( x = 0 ) 和 ( x = a ) 处的波函数。求电子在 ( x = \frac{a}{2} ) 处的概率幅。
解答
量子态叠加：电子处于 ( \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \psi_1(x) + \psi_2(x) \right) ) 的量子态，表示电子在 ( x = 0 ) 和 ( x = a ) 处的概率相等。
概率幅：电子在 ( x = \frac{a}{2} ) 处的概率幅 ( \psi\left(\frac{a}{2}\right) ) 为： [ \psi\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \psi_1\left(\frac{a}{2}\right) + \psi_2\left(\frac{a}{2}\right) \right) ] 由于 ( \psi_1(x) ) 和 ( \psi_2(x) ) 分别在 ( x = 0 ) 和 ( x = a ) 处为波函数，所以在 ( x = \frac{a}{2} ) 处的概率幅为零。
总结
通过对以上量子力学练习题的解析，我们可以更好地理解量子力学的基本原理和应用。量子力学是一个充满奥秘的领域，希望本文能够帮助读者轻松掌握物理奥秘。