引言
复数是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学以及计算机科学等领域都有广泛的应用。复数运算虽然看似复杂，但只要掌握了正确的技巧和方法，就可以轻松解决各类实战练习题。本文将详细介绍复数运算的技巧，并配以实战练习题，帮助读者快速掌握复数运算的方法。
复数的定义与表示
定义
复数是形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。
表示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，其中实部 a 对应横坐标，虚部 b 对应纵坐标。
复数的基本运算
加法
复数加法的运算法则是将两个复数的实部相加，虚部相加。
例如，(3 + 2i) + (1 - 4i) = (3 + 1) + (2 - 4)i = 4 - 2i。
减法
复数减法的运算法则是将两个复数的实部相减，虚部相减。
例如，(3 + 2i) - (1 - 4i) = (3 - 1) + (2 + 4)i = 2 + 6i。
乘法
复数乘法的运算法则是将两个复数分别按照实部和虚部相乘，然后相加。
例如，(3 + 2i) × (1 - 4i) = 3 × 1 + 3 × (-4i) + 2i × 1 + 2i × (-4i) = 3 - 12i + 2i - 8i² = 3 - 10i - 8 = -5 - 10i。
除法
复数除法的运算法则是将两个复数相乘，然后除以被除数的模的平方。
例如，(3 + 2i) ÷ (1 - 4i) = (3 + 2i) × (1 + 4i) ÷ (1 - 4i) × (1 + 4i) = (3 + 2i + 12i + 8i²) ÷ (1 - 16i²) = (11 + 14i) ÷ (1 + 16) = (11 + 14i) ÷ 17 = 11⁄17 + 14/17i。
复数的模与共轭复数
模
复数的模是指复数在复平面上的长度，计算公式为 |z| = √(a² + b²)。
例如，|3 + 2i| = √(3² + 2²) = √(9 + 4) = √13。
共轭复数
复数的共轭复数是指实部相同，虚部互为相反数的复数。
例如，(3 + 2i) 的共轭复数是 (3 - 2i)。
实战练习题
题目1
计算复数 (2 + 3i) × (4 - 5i)。
题目2
求复数 (1 + 2i) ÷ (3 - 4i) 的值。
题目3
已知复数 z = 3 + 4i，求 |z| 和 z 的共轭复数。
解答
题目1解答
(2 + 3i) × (4 - 5i) = 2 × 4 + 2 × (-5i) + 3i × 4 + 3i × (-5i) = 8 - 10i + 12i - 15i² = 8 + 2i - 15 = -7 + 2i。
题目2解答
(1 + 2i) ÷ (3 - 4i) = (1 + 2i) × (3 + 4i) ÷ (3 - 4i) × (3 + 4i) = (3 + 4i + 6i + 8i²) ÷ (9 + 16) = (3 + 10i - 8) ÷ 25 = -5⁄25 + 10/25i = -1⁄5 + 2/5i。
题目3解答
|z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
z 的共轭复数是 3 - 4i。
总结
本文详细介绍了复数的定义、表示、基本运算以及模和共轭复数等概念。通过实战练习题，读者可以进一步巩固所学知识，轻松解决各类复数运算问题。在实际应用中，熟练掌握复数运算技巧对于解决相关领域的问题具有重要意义。