引言
分数乘法分配律是数学中的一个重要法则，它不仅简化了分数的乘法运算，而且在解决一些复杂的数学问题时发挥着关键作用。本文将深入解析分数乘法分配律，并通过实例展示其应用，帮助读者轻松掌握这一数学技巧。
分数乘法分配律的定义
分数乘法分配律指的是：对于任意两个分数 ( \frac{a}{b} ) 和 ( \frac{c}{d} )，以及任意一个整数 ( k )，有以下等式成立：
[ k \times \left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) = k \times \frac{a}{b} + k \times \frac{c}{d} ]
同样地，对于减法也有类似的分配律：
[ k \times \left( \frac{a}{b} - \frac{c}{d} \right) = k \times \frac{a}{b} - k \times \frac{c}{d} ]
分数乘法分配律的证明
为了更好地理解分数乘法分配律，我们可以通过代数方法进行证明。
证明分数乘法分配律
假设 ( \frac{a}{b} ) 和 ( \frac{c}{d} ) 是两个分数，( k ) 是一个整数。我们需要证明：
[ k \times \left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) = k \times \frac{a}{b} + k \times \frac{c}{d} ]
首先，将左边的表达式展开：
[ k \times \left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) = k \times \frac{a}{b} + k \times \frac{c}{d} ]
由于 ( k ) 是整数，我们可以将 ( k ) 分别乘以 ( \frac{a}{b} ) 和 ( \frac{c}{d} )：
[ k \times \frac{a}{b} + k \times \frac{c}{d} ]
这证明了分数乘法分配律。
分数乘法分配律的应用
分数乘法分配律在解决数学问题时非常有用，以下是一些应用实例：
例1：简化分数乘法
假设我们要计算 ( 3 \times \left( \frac{2}{5} + \frac{3}{10} \right) )。
首先，使用分数乘法分配律：
[ 3 \times \left( \frac{2}{5} + \frac{3}{10} \right) = 3 \times \frac{2}{5} + 3 \times \frac{3}{10} ]
然后，分别计算两个乘积：
[ 3 \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5} ] [ 3 \times \frac{3}{10} = \frac{9}{10} ]
最后，将两个结果相加：
[ \frac{6}{5} + \frac{9}{10} = \frac{12}{10} + \frac{9}{10} = \frac{21}{10} ]
因此，( 3 \times \left( \frac{2}{5} + \frac{3}{10} \right) = \frac{21}{10} )。
例2：解决实际问题
假设一个长方形的长是 ( \frac{3}{4} ) 厘米，宽是 ( \frac{5}{6} ) 厘米，我们需要计算长方形的面积。
使用分数乘法分配律：
[ \text{面积} = \left( \frac{3}{4} \times \text{长} \right) + \left( \frac{5}{6} \times \text{宽} \right) ]
将长和宽的值代入：
[ \text{面积} = \left( \frac{3}{4} \times 1 \right) + \left( \frac{5}{6} \times 1 \right) ]
计算两个乘积：
[ \frac{3}{4} = \frac{3}{4} ] [ \frac{5}{6} = \frac{5}{6} ]
将两个结果相加：
[ \frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12} ]
因此，长方形的面积是 ( \frac{19}{12} ) 平方厘米。
结论
分数乘法分配律是数学中的一个重要法则，它不仅简化了分数的乘法运算，而且在解决实际问题中发挥着关键作用。通过本文的解析和实例，相信读者已经对分数乘法分配律有了深入的理解，并能够灵活运用这一技巧解决数学问题。