引言
等比数列是数学中的一个基本概念，它在多个领域都有着广泛的应用。通过理解等比数列的精髓，我们可以更好地掌握数学中的这一重要工具。本文将带您深入探索等比数列的世界，通过精选的练习题及答案解析，帮助您轻松掌握数学奥秘。
等比数列的基本概念
等比数列（Geometric Sequence）是指一个数列中，从第二项起，每一项与它前一项的比值都是常数，这个常数称为公比。等比数列的通项公式为： [ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} ] 其中，( a_1 ) 为首项，( r ) 为公比，( n ) 为项数。
练习题及答案解析
练习题 1
一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项。
答案解析
根据等比数列的通项公式，我们有： [ a_n = 2 \times 3^{(n-1)} ] 因此，前5项分别为： [ a_1 = 2 ] [ a_2 = 2 \times 3^{(2-1)} = 6 ] [ a_3 = 2 \times 3^{(3-1)} = 18 ] [ a_4 = 2 \times 3^{(4-1)} = 54 ] [ a_5 = 2 \times 3^{(5-1)} = 162 ]
练习题 2
一个等比数列的第4项为16，第7项为128，求该数列的首项和公比。
答案解析
设该数列的首项为 ( a_1 )，公比为 ( r )。根据等比数列的通项公式，我们有： [ a_4 = a_1 \times r^{(4-1)} = a_1 \times r^3 = 16 ] [ a_7 = a_1 \times r^{(7-1)} = a_1 \times r^6 = 128 ] 将第一个方程两边同时除以 ( a_1 )，得到 ( r^3 = 16 )。解得 ( r = 2 )。将 ( r ) 的值代入第二个方程，得到 ( a_1 \times 2^6 = 128 )，解得 ( a_1 = 2 )。
练习题 3
一个等比数列的首项为 ( a_1 )，公比为 ( r )，其前5项之和为50，求 ( a_1 ) 和 ( r ) 的值。
答案解析
根据等比数列的前n项和公式 ( S_n = a_1 \times \frac{1 - r^n}{1 - r} )，我们有： [ S_5 = a_1 \times \frac{1 - r^5}{1 - r} = 50 ] 由于 ( S_5 ) 为常数，且 ( r ) 为公比，我们可以将 ( a_1 ) 视为未知数。将 ( S_5 ) 的值代入上述公式，得到： [ a_1 \times \frac{1 - r^5}{1 - r} = 50 ] 这是一个关于 ( a_1 ) 和 ( r ) 的方程，需要进一步分析才能求解。
结论
等比数列是数学中一个基础且重要的概念。通过以上练习题及答案解析，我们可以更好地理解等比数列的精髓，为解决实际问题打下坚实的基础。在实际应用中，灵活运用等比数列的知识，能够帮助我们解决各种数学问题。