引言
高中数学压轴题一直是学生和家长关注的焦点，这些题目往往难度较大，但也是检验学生综合能力的重要环节。本文将结合常州高中的实际情况，由资深老师独家讲解几道典型的压轴题，帮助学生们更好地理解和攻克这些难题。
第一题：解析几何中的最值问题
题目描述
已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右焦点分别为 \(F_1(-c, 0)\)、\(F_2(c, 0)\)，点 \(P\) 在椭圆上，且 \(PF_1 + PF_2 = 2a\)。求 \(|PF_1| + |PF_2|\) 的最大值。
解题思路
- 利用椭圆的定义：根据椭圆的定义，\(|PF_1| + |PF_2|\) 的值等于 \(2a\)。
- 构造辅助线：过点 \(P\) 作 \(x\) 轴的垂线，交 \(x\) 轴于点 \(Q\)。
- 应用三角函数：利用三角函数表示 \(|PF_1|\) 和 \(|PF_2|\)，进而表示 \(|PF_1| + |PF_2|\)。
- 求最值：利用导数求 \(|PF_1| + |PF_2|\) 的最大值。
解题步骤
- 椭圆的定义：由椭圆的定义，\(|PF_1| + |PF_2| = 2a\)。
- 构造辅助线：过点 \(P\) 作 \(x\) 轴的垂线，交 \(x\) 轴于点 \(Q\)，则 \(|PF_1| = |PQ| + c\)，\(|PF_2| = |PQ| - c\)。
- 应用三角函数：设 \(\angle F_1PQ = \alpha\)，则 \(\sin \alpha = \frac{|PQ|}{|PF_1|}\)，\(\cos \alpha = \frac{c}{|PF_1|}\)。同理，设 \(\angle F_2PQ = \beta\)，则 \(\sin \beta = \frac{|PQ|}{|PF_2|}\)，\(\cos \beta = \frac{c}{|PF_2|}\)。
- 求最值：由 \(\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin(\alpha + \beta)\)，可得 \(|PF_1| + |PF_2| = 2a\sin(\alpha + \beta)\)。又因为 \(0 < \alpha < \pi\)，\(0 < \beta < \pi\)，所以 \(0 < \alpha + \beta < 2\pi\)。当 \(\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}\) 时，\(\sin(\alpha + \beta)\) 取得最大值 \(1\)，此时 \(|PF_1| + |PF_2|\) 也取得最大值 \(2a\)。
第二题：数列中的递推关系
题目描述
已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3}\)（\(n \in \mathbb{N}^*\)）。求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}\)。
解题思路
- 构造递推关系：利用递推关系构造通项公式。
- 求极限：利用数列极限的定义求解。
解题步骤
- 构造递推关系：由递推关系 \(a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3}\)，得 \(a_n = \frac{1}{2}a_{n-1} + \frac{1}{3}\)。将两式相减，得 \(a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2}(a_n - a_{n-1})\)。
- 求通项公式：设 \(b_n = a_n - \frac{1}{3}\)，则 \(b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n\)。由 \(b_1 = a_1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)，得 \(b_n = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)。
- 求极限：由 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{b_n + \frac{1}{3}}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + \frac{1}{3}}{3^n} = \frac{1}{9}\)。
总结
本文通过两道典型的常州高中压轴题，详细讲解了解题思路和步骤。希望这些讲解能够帮助学生们更好地理解和攻克这类难题。在今后的学习中，同学们要注重基础知识的积累，提高自己的思维能力，才能在高考中取得优异的成绩。