在2017年的高考数学考试中，压轴题无疑是对考生数学能力的一次全面考验。本文将深入剖析这一压轴题，帮助考生掌握解题技巧，提升数学成绩。
一、题目回顾
2017年高考数学压轴题如下：
设函数\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，若存在实数\(m\)，使得\(f(x)\)的图象在\(x=m\)处与直线\(y=2x+m\)相切，求实数\(m\)的值。
二、解题思路
要解决这个问题，我们需要从以下几个步骤入手：
- 求导数：首先求出函数\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)，因为切线的斜率等于函数在该点的导数值。
- 计算斜率：将\(x=m\)代入导数中，得到切线在\(x=m\)处的斜率。
- 建立方程：由于切线与直线\(y=2x+m\)相切，所以切线的斜率应等于直线的斜率，即\(2\)。
- 解方程：根据上述条件建立方程，求解实数\(m\)。
三、详细解答
1. 求导数
首先，我们对函数\(f(x)=x^3-3x^2+4\)求导：
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x \]
2. 计算斜率
将\(x=m\)代入导数中，得到切线在\(x=m\)处的斜率：
\[ f'(m) = 3m^2 - 6m \]
3. 建立方程
由于切线的斜率等于直线的斜率，即\(2\)，所以我们有：
\[ 3m^2 - 6m = 2 \]
4. 解方程
将上述方程化简并求解：
\[ 3m^2 - 6m - 2 = 0 \]
使用求根公式：
\[ m = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} \]
计算得到：
\[ m = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{6} \]
\[ m = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{6} \]
\[ m = \frac{6 \pm 2\sqrt{15}}{6} \]
化简得到：
\[ m = 1 \pm \frac{\sqrt{15}}{3} \]
所以，实数\(m\)的值为\(1 + \frac{\sqrt{15}}{3}\)或\(1 - \frac{\sqrt{15}}{3}\)。
四、总结
通过以上步骤，我们成功解答了2017年高考数学压轴题。掌握这种解题方法，可以帮助考生在高考中取得更好的成绩。同时，这类题目也提醒我们，数学学习需要注重基础，培养逻辑思维能力，才能在复杂的问题中找到解决之道。