在点集拓扑学中，第一章通常涉及一些基础的拓扑概念和定理。这些概念和定理是理解和解决更复杂问题的基础。下面，我将详细解析第一章中的几个计算题，并提供相应的实例。
1. 邻域的概念
定义
邻域的概念是点集拓扑中的核心概念之一。对于拓扑空间 (X) 和其上的点 (x)，一个包含 (x) 的开集 (U) 被称为 (x) 的邻域。
计算题
证明：如果 (U) 是 (X) 的一个邻域，那么对于任意 (x \in U)，存在一个开集 (V \subseteq U)，使得 (x \in V)。
解答
假设 (U) 是 (X) 的一个邻域，且 (x \in U)。由于 (U) 是开集，根据开集的定义，存在一个开集 (V)，使得 (x \in V \subseteq U)。因此，(V) 是 (U) 的一个邻域，满足题目要求。
2. 闭集的概念
定义
闭集是与开集相对的概念。在拓扑空间 (X) 中，一个集合 (F) 被称为闭集，如果它的补集 (X - F) 是开集。
计算题
证明：如果 (F) 是 (X) 的一个闭集，那么 (X - F) 是开集。
解答
假设 (F) 是 (X) 的一个闭集。根据闭集的定义，(X - F) 是 (F) 的补集，因此 (X - F) 是开集。为了证明这一点，我们需要找到一个开集 (G)，使得 (X - F = G)。
由于 (F) 是闭集，其补集 (X - F) 是开集。因此，存在一个开集 (G)，使得 (X - F = G)。由此可得 (F = X - G)，即 (F) 是 (X) 的一个开集。这与 (F) 是闭集的定义矛盾，因此 (X - F) 必须是开集。
3. 连通集的概念
定义
连通集是拓扑空间中的一种基本性质。一个拓扑空间 (X) 被称为连通的，如果它不能被表示为两个不相交的非空开集的并集。
计算题
证明：实数集 (\mathbb{R}) 是连通的。
解答
假设 (\mathbb{R}) 不是连通的，那么存在两个不相交的非空开集 (U) 和 (V)，使得 (\mathbb{R} = U \cup V)。
由于 (U) 和 (V) 是开集，它们都是 (\mathbb{R}) 的邻域。根据邻域的定义，存在 (x \in U) 和 (y \in V)，使得 (x) 和 (y) 是 (\mathbb{R}) 上的任意两点。
然而，由于 (U) 和 (V) 是不相交的，(x) 和 (y) 不能同时属于 (U) 和 (V)。这意味着 (\mathbb{R}) 不能被表示为两个不相交的非空开集的并集，与假设矛盾。因此，(\mathbb{R}) 是连通的。
通过以上解析，我们可以更好地理解点集拓扑学中的基本概念和定理。这些概念和定理不仅为后续学习提供了基础，而且在解决实际问题中也具有重要的应用价值。