一、整数运算
1. 加法
题目：计算 (123 + 456)
解题过程：
123
+ 456
-----
579
答案：579
2. 减法
题目：计算 (789 - 321)
解题过程：
789
- 321
-----
468
答案：468
3. 乘法
题目：计算 (23 \times 45)
解题过程：
23
x 45
-----
115 (23乘以5)
+ 920 (23乘以40，注意位置)
-----
1035
答案：1035
4. 除法
题目：计算 (870 \div 23)
解题过程：
870 ÷ 23 = 38
答案：38
二、分数运算
1. 分数加法
题目：计算 (\frac{3}{4} + \frac{5}{6})
解题过程：
先通分：\frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \frac{5}{6} = \frac{10}{12}
\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}
答案：(\frac{19}{12})
2. 分数减法
题目：计算 (\frac{7}{8} - \frac{3}{8})
解题过程：
\frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
答案：(\frac{1}{2})
3. 分数乘法
题目：计算 (\frac{2}{3} \times \frac{4}{5})
解题过程：
\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}
答案：(\frac{8}{15})
4. 分数除法
题目：计算 (\frac{5}{6} \div \frac{3}{4})
解题过程：
\frac{5}{6} \div \frac{3}{4} = \frac{5}{6} \times \frac{4}{3} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}
答案：(\frac{10}{9})
三、应用题
1. 利润问题
题目：小明以10元每千克的价格买了5千克苹果，然后以每千克12元的价格卖出。计算小明的利润。
解题过程：
利润 = 卖出总价 - 买入总价
利润 = (12元/千克 × 5千克) - (10元/千克 × 5千克)
利润 = 60元 - 50元
利润 = 10元
答案：小明赚了10元。
2. 速度问题
题目：一辆汽车从甲地开往乙地，以60千米/小时的速度行驶了2小时。然后以80千米/小时的速度行驶了3小时。计算汽车行驶的总路程。
解题过程：
总路程 = 第一段路程 + 第二段路程
第一段路程 = 速度 × 时间 = 60千米/小时 × 2小时 = 120千米
第二段路程 = 速度 × 时间 = 80千米/小时 × 3小时 = 240千米
总路程 = 120千米 + 240千米 = 360千米
答案：汽车行驶了360千米。
通过以上练习题的详解，相信你能够更好地理解初中数学的笔算技巧。记住，数学是一门需要不断练习的学科，通过大量的练习，你将能够更加熟练地掌握解题方法。加油！