引言
菜花孙犁是一位著名的数学教育家，他的经典练习题因其难度和深度而广受推崇。本文将详细解析几道菜花孙犁的经典练习题，并提供答案解析，帮助读者深入理解解题思路。
练习题一：解析几何问题
题目
已知平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(4,5)，求过这两点的圆的方程。
解题步骤
确定圆心坐标：设圆心坐标为C(x,y)，由于圆心到A、B两点的距离相等，因此有： $\( (x-2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2 \)$
化简方程：展开并化简上述方程，得到： $\( x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25 \)\( 化简后得到： \)\( 4x + 4y = 12 \)$
求解x和y：将方程化简为： $\( x + y = 3 \)$ 联立原方程，解得圆心坐标为C(1,2)。
求解半径：计算圆心C到A或B的距离，得到半径r： $\( r = \sqrt{(1-2)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{2} \)$
写出圆的方程：根据圆心和半径，写出圆的方程： $\( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 2 \)$
答案
过点A(2,3)和点B(4,5)的圆的方程为： $\( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 2 \)$
练习题二：数列问题
题目
已知数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n，求前n项和Sn。
解题步骤
- 写出前n项和公式：根据数列的通项公式，写出前n项和公式： $\( S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = (3^1 - 2^1) + (3^2 - 2^2) + \cdots + (3^n - 2^n) \)$
- 分组求和：将公式中的项进行分组，得到： $\( S_n = (3^1 + 3^2 + \cdots + 3^n) - (2^1 + 2^2 + \cdots + 2^n) \)$
- 使用等比数列求和公式：分别对两个等比数列求和，得到： $\( S_n = \frac{3(1-3^n)}{1-3} - \frac{2(1-2^n)}{1-2} \)$
- 化简公式：化简上述公式，得到： $\( S_n = \frac{3}{2}(3^n - 1) - 2^n + 1 \)$
答案
数列{an}的前n项和为： $\( S_n = \frac{3}{2}(3^n - 1) - 2^n + 1 \)$
总结
本文详细解析了两道菜花孙犁的经典练习题，包括解析几何问题和数列问题。通过详细的解题步骤和答案解析，读者可以更好地理解解题思路，提高自己的数学能力。